El Caos Matemático

En el lenguaje común, la palabra caos significa confusión, desorden absoluto. En la filosofía de Platón, el Caos es el desorden que precedió al cosmos. Cuando nos encontramos en un tráfico exagerado o en un tumulto de gente, nos referimos al caos en que vivimos.

Sin embargo, la palabra caos toma un significado específico en el contexto científico que tiene que ver, sólo de una manera somera, con la noción comúnmente asociada a esta palabra. Podríamos decir, en contraste con la idea común de desorden, que el caos matemático está asociado con una idea de orden en medio de un aparente desorden.

Un modelo matemático, expresado muchas veces en términos de ecuaciones complicadas, tiene por objeto simplificar un fenómeno que no puede, en general, ser estudiado en toda su complejidad. El modelo facilita la comprensión de la realidad, permitiendo así predecir su comportamiento. Un modelo puede ser determinista o aleatorio.

Podemos, sin temor a equivocarnos, estar seguros que Venus lucirá en el ocaso el día de nuestro octogésimo aniversario. La posición de Venus se predice con bastante exactitud mediante las leyes determinísticas de la mecánica clásica.

Estamos casi seguros de obtener cerca de la mitad de las veces el resultado cara, en un juego de lanzamientos de moneda suficientemente largo. La imprecisión del segundo enunciado se debe a que la predicción se basa en un modelo aleatorio.

Hay fenómenos que bajo ciertas condiciones iniciales se comportan como determinísticos, pero que sometidos a una pequeña modificación de estas condiciones se comportan como aleatorios.

Algunos de estos fenómenos presentan un comportamiento que se describe con el llamado Efecto Mariposa: “Una mariposa que bate sus alas en Tokio puede desatar un huracán en San Francisco”. La referencia al clima que hace esta metáfora no es casual, el clima es un buen ejemplo de un fenómeno que presenta un comportamiento caótico.

Todo lo que es verdaderamente regular es bastante previsible, pero una gran sensibilidad a las condiciones iniciales vuelve a un sistema, impredecible e irregular. Por esta razón todo sistema muy sensible a las condiciones iniciales se califica de caótico.

El caos no sólo es un comportamiento complicado y sin motivo aparente; el concepto es más sutil. El caos tiene apariencia de complicación, pero es simple y de naturaleza determinística.

Como es frecuente en ciencia, esta idea ha permitido desarrollar numerosos modelos matemáticos para describir fenómenos físicos y son innumerables sus aplicaciones en una nueva manera de comprender la naturaleza.

El Affair Sokal

“Transgrediendo fronteras: hacia una hermenéutica transformadora de la teoría cuántica de la gravitación” fue el rimbombante título que el físico neoyorkino Alan Sokal eligió para su trabajo aceptado en 1996 por la prestigiosa revista Social Text.

Nunca imaginaron los editores de la revista el escandaloso terremoto que estaba por desatarse y que estremecería los cenáculos intelectuales de Los Estados Unidos y Francia.

El artículo mezclaba citas de los más consagrados pontífices de la filosofía postmoderna, como Lacan, Baudrillard y Kristeva, entre otros, con la jerga técnica de las más abstractas teorías de la física.

Los editores no podían estar más halagados. Un teórico de las ciencias duras reivindicaba un discurso en sintonía con el pensamiento postmoderno. La moda intelectual era agredir a la ciencia, calificándola como una convención social, una narrativa o un mito en nada diferente al mito del diluvio.

El halago duró poco. Dos semanas después, Sokal reveló la verdad: se trataba de una gigantesca parodia, una burla de principio a fin donde se mezclaban una sarta de disparates sin ningún significado pero con apariencia de profunda reflexión filosófica.

La apuesta era que la publicación de un artículo absurdo desnudara la debilidad de los criterios de los editores. Sokal recurrió al humor pesado para denunciar el palabrerío vacío y la oscuridad retorcida, como sinónimo de profundidad.

La sátira feroz fue el arma que el físico usó para tomarles el pelo a los intelectuales postmodernos que hacían gala de una delirante oscuridad del lenguaje.

La revelación de Sokal encendió la pradera. El orgullo herido de los intelectuales desató una ola de declaraciones y contradeclaraciones en los círculos académicos incluso a través de medios masivos como el New York Times.

Al poco tiempo Sokal volvió al ataque. Junto con el físico belga Jean Bricmont publicó el libro “Imposturas Intelectuales” donde denuncian cómo distintos autores usan incorrectamente el lenguaje de las ciencias, sólo para prestigiar un discurso, que paradójicamente está dirigido a descalificar a las ciencias. La intoxicación de conceptos usados fuera de contexto los pone en evidencia. Afirmar, como afirmó Lacan, que la raíz cuadrada de menos uno, base de los números complejos, representa el órgano eréctil masculino, es demasiado.

El affaire Sokal metió el dedo en la llaga de la enorme brecha entre las dos culturas, la científica y la humanística. Reducir el abismo de incomprensión entre ellas, sigue siendo asignatura pendiente.

Einstein: De Científico A Top Star

Afirmar que Einstein es imagen de la ciencia del siglo XX, es afirmar lo obvio. Más importante es preguntarse por qué en el siglo de científicos brillantes como Bohr, Dirac, y Heisenberg, pudo Einstein erigirse como icono del mundo contemporáneo.

En 1919, al finalizar la Primera Guerra Mundial, Einstein era una reconocida figura en la comunidad científica: había creado la teoría de la relatividad y faltaban dos años para que obtuviera el Premio Nobel.

Un mundo conmocionado y hastiado de la guerra vio emerger la figura de un hombre que proponía nada menos que un nuevo orden cósmico. Los periódicos del planeta anunciaron que las ideas newtonianas habían sido derribadas y que la luz se doblegaba bajo el influjo de la gravedad. Si agregamos el carisma personal de su proponente y el cultivo de la irreverencia; tenemos un candidato a vedette. A Einstein le atraía el vedettismo, y salió del closet científico a las pasarelas del mundo.

Por si fuera poco, era alemán y Alemania volvería a ser el centro de las miradas del mundo gracias a la segunda guerra. Su pacifismo radical y sus posiciones en contra del militarismo alemán lo resaltaban. Además era judío, la comunidad proscrita por el régimen nazi. Einstein solía decir: “Si mis teorías resultan ciertas, los franceses dirán que soy universal y los alemanes dirán que soy alemán; pero si resultan falsas, los franceses dirán que soy alemán y los alemanes, que soy judío”.

Hay que considerar también su paradójica relación con la bomba atómica: la relatividad explica el origen de la energía nuclear liberada en la bomba, lo que llevó a muchos a tildarlo falazmente, de Padre de la bomba atómica. Pero además, aunque pacifista convencido, su firma encabezaba la solicitud al presidente Roosevelt para que el gobierno de los Estados Unidos emprendiera la construcción de la bomba.

Sus teorías tocan aspectos fundamentales de la realidad, y establecen que nuestras nociones de tiempo y espacio no siempre son válidas: nos enseñó que podíamos estar equivocados.

La incomprensión de sus teorías por el gran público y la invocación levemente mística de términos como “continuo cuatri-dimensional” o “curvatura del espacio-tiempo”, capturan la imaginación colectiva y favorecen la leyenda.

Sólo la conjunción de complejas circunstancias personales, políticas, sociales, científicas e históricas, es capaz de explicar cómo un científico exitoso puede convertirse en un “top star”, y símbolo inequívoco del siglo XX.

Dimensiones Extras

El espacio tiene tres dimensiones. Ese es un conocimiento anclado en nuestra percepción de la realidad gracias a cientos de miles de años de evolución. Euclides formalizó esta intuición y creó la geometría euclidiana tridimensional según la cual, bastan tres números para ubicar cada punto del espacio. Los matemáticos del siglo XIX desarrollaron geometrías no euclidianas N-dimensionales y Einstein basó su teoría de la gravitación en una geometría no euclidiana cuadridimensional. Pero aun en la relatividad, el espacio sigue siendo de tres dimensiones y el tiempo de una dimensión. Las más sofisticadas teorías de las partículas elementales a altas energías, aceptan que el espacio es tridimensional.

¿Por qué hay tres dimensiones espaciales? ¿Es producto de una inexorable ley física?, o por el contrario ¿es producto de un azar, un accidente en la evolución de nuestro universo? Si la relatividad descubrió que el espacio puede ser no euclidiano, ¿no podría tener también dimensiones adicionales?

La mejor descripción que tenemos de la materia a la menor de las escalas posibles es la teoría cuántica. Ella explica cualquier experimento que podamos hacer en el laboratorio. Pero ella ignora rotundamente la gravedad.

Por otra parte, a gran escala, la fuerza dominante es la gravedad, que explicamos con la relatividad general. Pero la relatividad ignora los fundamentos cuánticos. Ninguna de ellas por separado puede ser completa. Los físicos realizan esfuerzos por crear una teoría unificada que contemple las incertidumbres cuánticas, junto con la curvatura del espacio-tiempo.

La mejor candidata para teoría unificada es la teoría de las supercuerdas. En ella las partículas elementales son representadas como minúsculas cuerdas que vibran y los distintos modos de vibración corresponden a tipos diferentes de partículas.

Para que la teoría sea consistente y libre de contradicciones, las supercuerdas requieren un espacio de nueve dimensiones. Los físicos sugieren que seis de esas dimensiones son compactas, están enrolladas a una escala ultramicroscópica, así como una hoja de papel tiene dos dimensiones grandes y su espesor, que es muy pequeño.

Actualmente se realizan experimentos para detectar las consecuencias de las dimensiones extras: desviaciones de la ley de gravitación universal en escalas de fracciones de milímetros, o pequeñísimas violaciones de la conservación de la energía en violentas colisiones en los aceleradores de partículas. De aparecer evidencias de dimensiones adicionales, el reto será explicar porqué en los primerísimos instantes del universo sólo tres dimensiones se hicieron macroscópicas. Habremos entendido un aspecto fundamental del universo: las dimensiones del espacio.

Del Pitecantropus Al Telescopio Espacial Hubbel

Un homínido aprieta en su puño un hueso largo, golpea con violencia una osamenta. Un hueso golpeado se eleva. La toma es en cámara lenta. Imperceptiblemente el hueso girando se transforma en la rotación majestuosa de una modernísima nave espacial. En esta escena ya clásica de 2001 Odisea del Espacio, Kubrick captura alegóricamente milenios de evolución tecnológica. El artefacto como prolongación de nuestros sentidos.

Conocer y fabricar son dos actividades profundamente humanas. Somos Homo Sapiens y Homo Faber. La ciencia satisface las ansias de saber. La técnica satisface las ansias de construir. Hija de ambas, la tecnología inunda el mundo actual de productos.

La ciencia y la técnica se refuerzan mutuamente, cada una ayuda a crecer a la otra. Entender mejor las leyes de la óptica permite construir mejores telescopios. Las leyes electromagnéticas conducen a los motores eléctricos y a los generadores. A su vez los nuevos aparatos permiten indagar más profundamente en la naturaleza, lo que lleva a descubrir nuevas leyes. El círculo virtuoso leyes de la naturaleza, técnica y tecnología, se expande indetenible.

La tecnología muy primitiva no requiere del conocimiento científico. No hace falta conocer las leyes de Newton para construir una palanca, ni conocer geometría analítica o el número “Pi” para inventar la rueda. Pero la tecnología más sofisticada es producto de la ciencia. Cuentan que el primer ministro inglés le preguntó a Faraday que para qué servían sus descubrimientos. Faraday respondió: “No sé señor, pero algún día habrá que pagar impuestos por este descubrimiento”.

La telefonía celular o las computadoras son inconcebibles sin el desarrollo de la física cuántica. El uso de la energía atómica supone conocer las leyes de la física nuclear. Entender cómo emiten radiación los átomos permite construir un rayo laser.

Hoy podemos manipular los átomos individualmente con auxilio de la nanotecnología, observar los confines del universo, o transmitir y manejar instantáneamente billones de datos en Internet. Evidencia contundente de que el matrimonio ciencia – tecnología es indisoluble y exitoso.

La ciencia opta por entender el mundo físico a su alrededor, muchas veces por el simple placer de descubrir. La misión de la ciencia es descubrir. Y de teorías muy abstractas han surgido aplicaciones prácticas. No sabemos qué ventajas adaptativas nos brinda conocer la elusiva teoría cuántica de la gravitación o la comprensión de los agujeros negros, pero a lo mejor un día tendremos que pagar impuestos por ellos.

De Lo Natural A Lo Imaginario

Los números representan la noción de cantidad. Contamos cantidades con la ayuda de los números naturales: uno, dos, tres, etc. Pero rápidamente descubrimos que necesitamos las fracciones para medir magnitudes tales como peso o longitud. Los egipcios y babilonios conocían y hacían operaciones con los números que hoy llamamos “racionales”, que son el cociente de dos números naturales.

Pero los griegos descubrieron que habían cantidades que no se podían expresan como la división entre dos números naturales. La primera que se descubrió es la llamada raíz cuadrada de 2. Este número aparece con las primeras nociones de geometría: es la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno.

De la geometría surgieron otros números que como la raíz cuadrada de 2, no son números racionales, y por esta razón se les llamó “irracionales”. De hecho, luego se demostraría que hay muchísimos más números irracionales que racionales. “Irracionales para las mentes sublunares”, como diría Umberto Eco.

A comienzos del siglo XVI el italiano Girolamo Cardano definió los números negativos. Tiene sentido hablar de cantidades negativas, por ejemplo, cuando se tiene una deuda, o cuando se define un sentido positivo de una magnitud: el sentido opuesto será negativo. A la unión de los racionales con los irracionales, positivos o negativos se le llama números “reales”.

Con los números reales se hacen operaciones: se suman, se restan, se multiplican y dividen, y con las operaciones aparecen las ecuaciones. Algunas de estas ecuaciones plantearon la necesidad de responder a la pregunta: ¿Cuál es el número que cuando se multiplica por sí mismo el resultado es igual a menos uno?

En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler introdujo el símbolo i para representar a este número. Con esta definición los números reales resultaron sumergidos en un sistema numérico más amplio: los números complejos, lo que permitió resolver ecuaciones que no tenían solución si sólo aceptáramos la existencia de los números reales.

Con esta revolucionaria idea, Euler le dio existencia a los números imaginarios que permitieron resolver una mayor cantidad de ecuaciones. La física moderna acogería esta idea con los brazos abiertos para comprender mejor al mundo físico. La ecuación fundamental de la física cuántica, por ejemplo, contiene al número imaginario i.

De lo naturales a lo imaginario como una manera de comprender lo real, porque como sentenció el gran matemático Leopoldo Kronecker: “Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre”

De HAL A La Manzana

“Detente Dave, detente,…, tengo miedo, se me va la mente, puedo sentirlo… Soy el computador HAL 9000, comencé a funcionar en la fábrica HAL en Illinois el 12 de enero de 1992, mi instructor fue el Sr. Langley y me enseñó una canción que puedo cantar…”

Con estas palabras Stanley Kubrick nos anticipa el triunfo del hombre sobre la computadora humanizada, en la extraordinaria película 2001 Odisea del Espacio, estrenada en 1968.

Pero ¿Cómo llegamos a los prodigiosos avances que nos llevan a fantasear acerca de la sustitución del cerebro humano por el computador?

Vayamos a los orígenes.

¿Quién inventó las computadoras? ¿Cuál es su historia?

En 1913, justo antes de la Primera Guerra Mundial, un ingeniero del Instituto Tecnológico de Massachussets, Vannevar Bush, en Estados Unidos, construyó una calculadora mecánica que puede considerarse el primer paso hacia la creación del computador moderno. A partir de ésta pronto fueron construidas calculadoras electromagnéticas en Alemania, Francia y Estados Unidos.

En 1939 el físico norteamericano, John Atanassof realiza un avance crucial con la fabricación del primer computador electrónico. Este computador utiliza el código binario y tiene ya las estructuras de las computadoras modernas: memoria, compilador y operador. Enseguida estalla la Segunda Guerra Mundial y los militares ingleses y americanos las utilizan para descifrar claves en las tareas de espionaje.

En el año 1942, el matemático inglés Alan Turing inventa una segunda generación de computadores llamadas “Colossus”. Este computador mejora considerablemente las funciones de los anteriores; se utiliza de nuevo para descubrir los códigos secretos del enemigo alemán. Paralelamente los norteamericanos mejoraron el Colossus para atender las necesidades del proyecto Manhattan, de fabricación de la bomba atómica. En 1950 se construye el primer gran computador electrónico. La invención se debe a dos ingenieros y al gran matemático John von Newman. Von Newman inventa los primeros lenguajes de programación. A partir de allí se multiplican rápidamente los avances y sofisticaciones que hoy conocemos, introducidos por grandes compañías como IBM y Apple, entre otras. En 1952 el gran pionero de la informática Alan Turing se quitó la vida mordiendo una manzana envenenada, tras las humillaciones recibidas durante un infame juicio por homosexualidad. ¿Será casual el nombre de la compañía Apple, o éste alude a aquella manzana que mordió Turing?

HAL, la computadora de 2001 Odisea del Espacio, tiene las siglas que le anteceden en el abecedario a IBM. ¿Otra casualidad?

De Constancias E Inconstancias

Si hay algo constante en el universo es el cambio, el incesante movimiento. Las piedras caen, los ríos fluyen, las moléculas vibran, los planetas giran alrededor de estrellas de las que brota luz, las galaxias bailan una danza cósmica, el universo entero se expande…

Las teorías fundamentales son esencialmente modelos de cambios. Desde los tiempos de Newton las ecuaciones básicas de la física expresan las tasas de variación, en el espacio y en el tiempo, de diversas magnitudes físicas.

Sin embargo, para que las soluciones de estas ecuaciones describan correctamente al mundo ellas deben contener unas cantidades que en cualquier lugar y en cualquier instante permanezcan inmutables. Ellas son las constantes universales de la física.

La constante universal de Newton es una de ellas. Su valor determina la intensidad de la fuerza de gravedad en la ley de gravitación universal. Otra constante es la carga del electrón. Todos los electrones del universo, en cualquier lugar y siempre, tienen el mismo valor de la carga eléctrica. Este valor determina la intensidad de las fuerzas electromagnéticas y es fundamental en el electromagnetismo.

El famoso quantum de acción, la constante de Planck, introducida por Max Planck en 1900, que determina las incertidumbres intrínsecas del mundo subatómico descritas por la teoría cuántica, es otra de las constantes universales.
La velocidad de la luz en el vacío, máxima velocidad posible en nuestro universo, es la constante fundamental de la teoría de la relatividad.

Estas constantes y unas cuantas más, como la masa del electrón y otras partículas, definen el universo en el que vivimos. Ellas gobiernan las intensidades de las fuerzas básicas que moldean nuestro universo. El tamaño de los átomos, el modo de brillar de las estrellas y la manera como se expande el universo, dependen de ellas. Toda la magnífica diversidad que atestiguamos, desde el mundo cuántico hasta el cosmológico, desde las partículas elementales, pasando por los seres vivos, hasta las estrellas y galaxias, es consecuencia del delicado balance de estas constantes universales.

No sabemos a ciencia cierta por qué tienen los valores que tienen. Estos valores deben ser obtenidos de las observaciones y los experimentos, pero los físicos tienen esperanzas de que algún día puedan ser calculadas teóricamente. El universo luciría radicalmente distinto si las constantes fundamentales tuvieran otros valores.

Es una suerte que nuestro universo tenga constantes universales y leyes compatibles con nuestra existencia. De lo contrario, no habría quien para lamentarlo.

De Conjeturas, Dólares Y Teoremas

El matemático ruso Grigori Perelman ha rechazado la fabulosa cifra de dos millones de dólares en premios por haber demostrado la ya centenaria y célebre Conjetura de Poincaré.

Esta conjetura, ahora Teorema de Poincaré-Perelman es uno de los llamados Siete Problemas del Milenio. El Instituto Clay, en Estados Unidos ofreció un millón de dólares a quien resuelva cada uno de estos complicados problemas matemáticos.

Perelman no sólo rechazó el premio Clay, sino que también se negó a recibir la Medalla Fields, el más prestigioso premio que puede recibir un matemático, digamos el equivalente al Premio Nobel y que ofrece también una suma de dinero equivalente.

Un teorema matemático establece una verdad lógica: si se satisfacen un conjunto de hipótesis o condiciones, entonces se cumple una propiedad, en general mucho menos obvia. Un teorema se demuestra siguiendo unas cuantas reglas lógicas a partir de unos principios fundamentales llamados axiomas.

Un enunciado que a todas luces parece cierto pero que se resiste a ser demostrado recibe el nombre de Conjetura. Las conjeturas pueden tener enunciados muy simples, y sin embargo ser despiadadamente difíciles de demostrar. Pueden pasar décadas y el trabajo de matemáticos brillantes, antes de que puedan convertirse en teoremas.

Una de las conjeturas más famosas de la historia, la Conjetura de Fermat, se convirtió en teorema en el año 1993, cuando Andrew Wiles expuso su demostración en Inglaterra. Aunque en el auditorio estaban presentes los mejores matemáticos del mundo, no fue posible dar el visto bueno inmediatamente. Wiles tuvo que completar partes de su prueba y justificar detalladamente cada procedimiento. Logró su propósito dos años más tarde.

En el año 2006 la conjetura de Poincaré fue noticia en los diarios del mundo. Esta conjetura, enunciada por Henri Poincaré en 1904, pertenece a un área de la matemática llamada topología, y establece que en un espacio de cuatro dimensiones la esfera es simplemente conexa, lo que quiere decir, más o menos, que no puede tener agujeros.

La demostración de la conjetura fue anunciada en 2003 por Perelman, apoyándose en trabajos previos de Richard Hamilton. Luego de tres intensos años, llenos de intrigas, refutaciones, sospechas éticas y controversias; en el Congreso Mundial de Matemáticas en Madrid se anunció la completa verificación de la demostración de Perelman.

Paradójicamente, Perelman, a sus 40 años, abandonó su profesión, vive en una pequeña comunidad en Rusia, y dice estar ¡decepcionado de la matemática!

Cuando La Mar, La Mar Se Pone Retrechera...

Verso del compositor Henry Martínez.

El mar, el océano, esa gran extensión de agua que ha inspirado a poetas, escritores, enamorados y marinos, es también fuente de inspiración de científicos e ingenieros.

Estudiarlo y comprender sus caprichos, predecir sus diferentes estados: mar calmo, violento o proceloso, resulta útil para la planificación de construcciones de plataformas marinas, para la predicción de catástrofes naturales como maremotos o tsunamis y para diseñar barcos que no produzca mareo en los pasajeros.

El Doctor José Rafael León, de la Escuela de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UCV ha pasado buena parte de su vida de investigador modelando el mar.

El Doctor León nos explica: el mar puede ser estudiado considerándolo como una superficie aleatoria, regida por las leyes del azar. El análisis de los datos recogidos por boyas que miden las alturas del mar en diversos puntos y durante largos períodos de tiempo, permiten aplicar métodos estadísticos y proponer diversos modelos que ayudan a predecir su comportamiento.

La teoría de procesos aleatorios da las herramientas necesarias para tales análisis.

Supongamos que medimos la altura del mar en un punto fijo cada minuto. Podemos graficar estas alturas con respecto al tiempo, obteniendo así una curva por cada punto de la superficie marina, veremos los máximos o crestas, los mínimos o valles, las olas más pequeñas, el comportamiento promedio. Estas curvas son aleatorias. Para cada punto y en determinado lapso obtendremos una curva diferente. Si las boyas están localizadas en la misma zona del mar, éstas graban un comportamiento que corresponde a las mismas condiciones climatológicas y por lo tanto podemos pensar que están gobernadas por las mismas leyes, de naturaleza probabilística. Cada curva es considerada como una de las muchas posibilidades que se pueden obtener del mismo proceso. La descripción teórica de este proceso constituye el modelo matemático, digamos el “mar ideal”.

En teoría, se puede conocer, en un mar ideal, con qué probabilidad una ola alcanzará alguna altura prefijada, o con que frecuencia se alzarán olas de cierto tamaño. Podemos saber también cada cuanto tiempo se producen olas de una altura extrema y así prever como deben ser las estructuras de las construcciones marinas, para resistir este tipo de embate.

Modelar el mar sigue siendo un problema complejo, porque cuando la mar se torna retrechera nos sigue sorprendiendo.

¿Contar o no Contar?

El diámetro del aleph sería de dos o tres centímetros, pero cada espacio cósmico estaba allí, sin disminución de tamaño. Cada cosa era infinitas cosas, pero yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. El Aleph. J.L.Borges (1949).

Para contar no se necesitan los números. Los números sólo existen desde hace 5.000 años. El Hombre primitivo contaba. La relación se hacía con una referencia. Comparando cantidades con piedras, palitos o dedos. La noción de cantidad es relativa a otra cantidad.

Pasaron muchos años antes de que la humanidad diera el gigantesco salto de crear la noción abstracta del número. Fue el primer paso en el hermoso laberinto que llamamos matemáticas. Los números naturales, el uno, dos, tres… son la referencia universal para contar. Contamos asociando a cada elemento un número natural. El matemático Leopoldo Kronecker afirmó “Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre”.

La pregunta es si todos los conjuntos se pueden enumerar. Los números naturales sirven para contar cualquier conjunto “numerable”, por muy grande que éste sea. No hay un último número natural. Los números naturales son infinitos.

Pero no todos los infinitos son iguales. Imaginemos que colocamos a los números naturales sobre una recta, separados por la misma distancia. Luego marcamos las fracciones de la distancia unitaria, aparecen los números racionales, todos aquellos que se construyen como cociente de dos números naturales. Los griegos notaron que de esta manera no se obtienen todos los puntos de la recta. Hay otros números, que llamamos irracionales, que no tienen esta forma, y lo curioso es que son más abundantes.

Los números reales se representan por los puntos de una recta continua e infinita. Pero los números reales no se pueden enumerar, cualquier intento de hacerlo nos lleva a la conclusión de que hemos dejado alguno afuera.

Los matemáticos llaman aleph cero al infinito de los naturales, es digamos, el infinito más pequeño. El infinito de lo los números reales se llama aleph uno, o cardinal del continuo. Estos son los primeros números transfinitos y a partir de ellos se pueden construir otros mayores, infinitamente mayores.

No todos los conjuntos se pueden contar. Si el hombre pasó muchos miles de años para inventar los números como símbolos universales y contar sin dedos, dio un paso enorme para inventar estos monstruos, los transfinitos, que atormentaron a Jorge Luís Borges en un sótano de Buenos Aires.

Ciencia, Metáforas Y Universo

En el transcurso de la historia, hemos vislumbrado al universo usando diversas metáforas. Como un ser viviente, durante los griegos. Como una gigantesca y precisa maquinaria de relojería, en la época en la que Newton estableció su formidable sistema. Como una enorme máquina de vapor sujeta a la degradación de la energía por la ley de crecimiento de la entropía; en la época en que se entendieron las leyes de la termodinámica. O bien como una descomunal computadora en la que las leyes básicas son el software, es decir, los programas que deben ser ejecutados por la materia, que sería a su vez el hardware.

Por su parte, la propia empresa científica también se ha metaforizado de diferentes maneras: como exploración de territorios nuevos, como la resolución de un enorme crucigrama partiendo de algunas claves, o como la indagación y averiguación de un enigma policial. Cualquiera de ella que prefiramos, lo importante en la ciencia es que los hechos tienen la última palabra. Que no importa lo hermosa que sea una teoría acerca de un fenómeno, ni lo ingenioso o poderoso que sea su proponente: si la teoría no se ajusta a las observaciones, simplemente no sirve.

Una teoría científica se apoya en unas cuantas observaciones, y luego hace una apuesta, arriesga, dice algo sobre el mundo y vive peligrosamente hasta que un número suficiente de corroboraciones la consolide como una teoría respetable.

Con esa lógica, que no difiere de la lógica de un detective armando el rompecabezas de un asesinato, manteniendo fidelidad a algunos cuerpos del delito y basándose en algunas hipótesis, la ciencia ha logrado construir una evidente flecha de progreso. La física de Galileo fue superior a la de Arquímedes pero no tan buena como la de Newton. La de Einstein fue superior a la de Newton pero no tan buena como la actual. Superior porque describe mejor un mayor número de fenómenos. Es una mejor metáfora del mundo.

La metáfora que vamos haciendo del mundo es acultural; y por eso budistas y cristianos, agnósticos, religiosos y ateos colaboran en la consolidación de una historia convincente del universo y de sus constituyentes. Gracias a esa hermosa metáfora que la humanidad ha diseñado para entender mejor su relación con el mundo, podemos preguntarnos con el Premio Nobel Leo Lederman: si el Universo es la respuesta, ¿cuál es la pregunta?

Ciencia Y Poder: Relaciones Peligrosas

Las relaciones entre la Ciencia y el Poder suelen ser ambiguas, o peor aún, contradictorias. Al poder le interesa la ciencia porque sus resultados y productos dan más poder. Pero la ciencia por su propia naturaleza es crítica, y si el poder se siente cuestionado, busca imponerse de diversas maneras. Entonces las relaciones entre Ciencia y Poder se tornan relaciones peligrosas.

Lamentablemente la historia es generosa en ejemplos.

Giordano Bruno fue quemado vivo en 1600 por mantener que la Tierra gira en torno al sol, en contra de lo que establecía la religión.

La oposición al dogma puede acarrear gravísimos riesgos. Galileo descubrió cráteres en la luna, manchas en el sol, y proponía que la Tierra no era el centro del universo. Razones más que suficientes para que la Santa Inquisición lo declarara hereje.

Galileo fue arrestado, juzgado, obligado a abjurar de sus observaciones y recluido a su casa.

Cuando el fundamentalismo se ve cuestionado, ataca.

Einstein fue duramente atacado por el nazismo. Sus teorías fueron calificadas como “cochina ciencia judía”. El poder político publicó un panfleto titulado “Cien autores contra Einstein” para desacreditar sus teorías. Einstein comentaría con sorna: “…si la teoría estuviera equivocada, uno sólo hubiera bastado”.

Las ideas científicas se imponen por su adecuación a los experimentos, y no por el poder de sus proponentes.

El premio Nobel Lev Landau fue encarcelado por la KGB soviética porque sus posiciones científicas contradecían los preceptos del materialismo dialéctico. Lo obligaron a escribir una confesión “voluntaria”.

El dogma suele ser implacable con la desviación de la línea oficial.

Un oscuro agrónomo ruso, Lisenko, logró tal poder político en la Unión Soviética, que impuso sus atrasadas ideas sobre la evolución. Sus teorías eran las únicas que se enseñaban.

Como resultado, la biología y la genética soviética sufrieron décadas de retraso.


Darwin ha sido difamado porque su teoría de la evolución se opone al creacionismo fanático de grupos religiosos norteamericanos. Estos grupos han intentado prohibir la enseñanza de la evolución en algunos estados de Los Estados Unidos.

La ciencia progresa en la medida en que se cuestiona a sí misma y no teme auto corregirse para lograr una mejor descripción del mundo. Para eso, es necesario un ambiente de libertad intelectual plena. Es deber de la ciencia amenazar al dogma, sin que los científicos se vean amenazados por el poder.

Cazadores De Planetas

Cien Mil millones es un número asombrosamente grande. Este es el número aproximado de estrellas que hay en la Vía Láctea, nuestra galaxia particular. Una de esas estrellas es el Sol, nuestra estrella privada. Alrededor del él, gira la Tierra, nuestro planeta, junto con varios

¿Existen otros mundos alrededor de algunas de esas otras estrellas? ¿Forman esas estrellas sistemas planetarios parecidos a nuestro sistema solar? ¿Habrá en algunos de esos planetas las condiciones apropiadas para que surja esa hermosa complejidad que llamamos bioquímica?

Estas preguntas han mortificado a la humanidad desde tiempos remotos. En el siglo XVI Giordano Bruno fue ejecutado en las brasas ardientes de la hoguera, por afirmar la existencia de infinitos mundos parecidos a la Tierra.

Es tan sólo en la última década cuando la astronomía es capaz de emprender la aventura de responder científicamente estas preguntas. En el año 1995 fue detectado el primer planeta fuera del sistema solar, a 48 años luz de distancia. Desde ese momento con telescopios en la Tierra, con observatorios espaciales en órbita, como el telescopio Hubble, con el auxilio de poderosas computadoras y métodos cada vez más sofisticados, los cazadores de planetas han descubierto más de ciento cincuenta exoplanetas.

La búsqueda es difícil, los planetas son pequeños, fríos y oscuros, y además la mayor parte de las estrellas alrededor de la cual giran, están muy alejadas de nosotros. Pero los astrónomos han desarrollado métodos ingeniosos para detectarlos. Por ejemplo midiendo sutiles cambios en la luminosidad de una estrella debido al tránsito de un planeta, o por los cambios en la velocidad de la estrella gracias a la gravitación del planeta.

Los científicos estiman que el 10% de las estrellas similares al sol, tienen planetas asociados. Habría en la galaxia unos mil millones de sistemas planetarios. La comparación de estos sistemas planetarios con el nuestro, en diferentes momentos de su evolución, permitirá aprender más acerca del origen y desarrollo de los cuerpos celestes. Recientemente se logró obtener imágenes de un planeta de un tamaño similar al de la Tierra y pronto se podrá analizar la composición química de las atmósferas de los exo-planetas.

La cacería de planetas apenas ha comenzado. Una consecuencia posible de esta cacería es conocer si la vida es un fenómeno excepcional o por el contrario es más bien común; y tal vez responder a la inquietante pregunta: ¿Estamos solos en el universo?

Calor Humano

El Grupo Intergubernamental de Expertos Sobre el Cambio Climático de las Naciones Unidas acaba de dar su último e inapelable dictamen: el planeta se está calentando y los principales responsables somos los humanos.

Quedan descartados los intentos de explicar el calentamiento global, como un proceso natural debido a las emisiones volcánicas, a los cambios en la órbita de la Tierra alrededor del sol o a la actividad solar.

Las enormes emisiones de gases como el dióxido de carbono y el metano, debidos a la actividad humana, refuerzan el Efecto Invernadero natural de la Tierra. El efecto invernadero se produce cuando la superficie del planeta, calentada por la radiación solar, emite radiación térmica que es absorbida e inmediatamente reemitida por componentes atmosféricos como el vapor de agua, el dióxido de carbono y el metano. Esto impide que buena parte de esta energía se escape al espacio, por lo que aumenta la temperatura media del planeta.

Alrededor de tres cuartos de las emisiones de dióxido de carbono a la atmósfera producidas por los humanos durante los últimos veinte años provienen del uso de combustibles fósiles, como el petróleo, usado sobre todo para el transporte y la producción de electricidad. Su concentración Page 2 actual en la atmósfera es la más alta de los últimos 420.000 años y un 30% más alta que al comienzo de la revolución industrial. Según el informe del Grupo Intergubernamental, es probable que como una consecuencia la temperatura global aumente este siglo aproximadamente entre 2 y 4 grados.

Recordemos que el clima es un fenómeno muy sensible a las perturbaciones y cualquier alteración puede tener consecuencias difíciles de prever.

El aumento de la temperatura de nuestro planeta podría ocasionar elevación del nivel del mar, reducción de los hielos polares, multiplicación de sequías extremas y lluvias torrenciales, olas de calor y ciclones tropicales de mayor intensidad, con consecuencias impredecibles sobre la biodiversidad y la vida humana. El calentamiento del planeta puede tener efectos dramáticos sobre la vida individual, colectiva y la seguridad global.

Estamos sentados sobre una bomba de relojería que podemos desactivar si rectificamos la conducta humana que nos arrastra a esta descomunal catástrofe.

Con el clima no se juega; si la humanidad es responsable del problema, debe ser responsable de su solución. Científicos, gobiernos y ciudadanos de a pie deberíamos responder pronto a la pregunta: ¿Qué hacer con nuestro planeta?

Bajo La Piel De La Tierra

Son pocas las esperanzas que tenemos de emprender un “Viaje al centro de la tierra”, como soñó el novelista Julio Verne. El record de excavación de la tierra pertenece a los mineros sudafricanos, y es de tres kilómetros y medio de profundidad, un logro muy modesto si se considera que el radio de la tierra es de 6.400 km.

¿Cómo enterarnos entonces sobre el interior de la tierra? Se pueden hacer cálculos indirectos, como el realizado por Isaac Newton, quién utilizó su ley de gravitación universal para estimar la densidad promedio de la tierra y concluir que su interior tenía que ser mucho más denso que las rocas de la superficie.

Luego están los materiales de las profundidades terrestres que a veces arrastran los volcanes.

Pero son los terremotos los mejores informantes sobre el interior de la tierra. Del comportamiento de las ondas sísmicas que ellos generan es posible deducir propiedades físicas del medio que atraviesan.

Se ha llegado así a establecer que la tierra consta de varias capas. La más superficial es la corteza terrestre, compuesta por basalto en las cuencas oceánicas y por granito en los continentes, y con un espesor que varía entre los 12 kms en los océanos y los 80 kms en las regiones continentales más antiguas. La corteza es como una cáscara sólida, dividida en fragmentos denominados placas tectónicas. Estas placas flotan en la capa siguiente, el manto, que es líquido y tiene un espesor de 2.800 kms. Las placas se desplazan, gracias a las corrientes convectivas del manto, con velocidades del orden de 5 cms por año; los choques y roces entre ellas producen grandes deformaciones en la corteza, generando las cadenas montañosas y sus sistemas de fallas asociados. La fricción entre las placas es la responsable de la mayoría de los terremotos.

Por último, está el núcleo, la capa más profunda, con un espesor de casi 3.500 kms, formada por materiales pesados como hierro y níquel, sometidos a altas presiones y a temperaturas de unos 7.000 grados centígrados, superior a la de la superficie solar. El núcleo tiene dos regiones: una interior sólida y otra exterior líquida. El campo magnético de la tierra se atribuye al movimiento del fluido en el núcleo terrestre.

Hemos aprendido a conocer cada vez mejor nuestro planeta, pero bajo la piel de la Tierra hay enigmas que aún no alcanzamos a comprender.

Almacenando El Hidrógeno

Imagínate una ciudad sin ruido de motores ni contaminación. Nos parece imposible: un atrevimiento más de la ciencia ficción. ¡Pero este sueño podría ser realidad gracias al hidrógeno!

El hidrógeno es considerado como el posible combustible del futuro. Se le comienza a utilizar ya en las pilas de combustible experimentales que mueven automóviles eléctricos o dan emergía a dispositivos electrónicos portátiles tales como computadoras y teléfonos celulares.

Pero el problema del almacenamiento del hidrógeno se atraviesa en el camino de este sueño como una dificultad mayor.

Almacenar hidrógeno de manera segura para automóviles y dispositivos móviles en general, resulta especialmente problemático. El hidrógeno gaseoso presurizado debe almacenarse en tanques de gruesas paredes que ocupan mucho más espacio que su equivalente energético en gasolina.

Durante un buen tiempo los investigadores del área han buscado materiales que actúen como esponjas que absorban el hidrógeno y lo mantengan de manera segura hasta que se requiera para su uso; pero no se han hallado hasta ahora materiales con la necesaria capacidad de almacenamiento a las temperaturas y presiones convenientes.

Recientemente investigadores de las universidades inglesas de Newcastle y Liverpool han propuesto lo que puede ser una solución del problema a nivel molecular: una nanoesponja de hidrógeno.

Se trata de materiales compuestos de largas cadenas de carbono unidas por átomos metálicos, que cuando cristalizan forman cavidades de dimensiones inferiores a un nanómetro, es decir, a una milmillonésima de metro o 10 Ángstrom -- la dimensión típica de los diámetros atómicos. Las cavidades están conectadas por ventanas más pequeñas aun, de dimensiones inferiores a las de una molécula de hidrógeno.

Durante el llenado, el hidrógeno puede pasar a través de las ventanas, gracias a la flexibilidad de las cadenas; pero una vez llenas las cavidades, las cadenas pierden flexibilidad por lo que fuerzan el cierre de las ventanas.

Como resultado, el material puede ser cargado con hidrógeno a alta presión y mantiene el gas cuando la presión cae a niveles normales, con lo cual de hecho actúa como un sello de presión de dimensiones moleculares.

Aunque los materiales hallados por los investigadores de Newcastle y Liverpool no almacenan suficiente hidrógeno como para ser utilizables en aplicaciones prácticas y sólo funcionan a temperaturas muy por debajo de la ambiente, el hallazgo abre la vía a un prometedor nuevo enfoque del problema de almacenamiento seguro y eficiente de hidrógeno.

Agujeros Negros: La Atracción Fatal

De todos los objetos que la ciencia ha prefigurado, ninguno ha cautivado tanto la imaginación del público ni ha tenido tanto impacto mediático como los agujeros negros.

Como muchas entidades de la física, los agujeros negros comienzan como un resultado teórico: luego se verá si estos objetos teóricos existen en el mundo real y no solamente en la imaginación de los físicos.

Un agujero negro representa el triunfo definitivo de la gravedad sobre el resto de las fuerzas de la naturaleza. De acuerdo con la relatividad, la gravitación distorsiona la geometría del espacio y altera el fluir del tiempo. En un agujero negro estas alteraciones alcanzan su máximo posible. Los agujeros negros teóricos son objetos muy simples porque están hechos de pura geometría y tiempo.

El escenario adecuado para la formación de agujeros negros es el de estrellas de gran masa que han agotado su combustible nuclear y colapsan por su auto-gravitación. No hay fuerza capaz de detener el colapso y toda la masa de la estrella se contrae hasta tener, en teoría, volumen cero, y por lo tanto densidad infinita. Es la temible singularidad de la cual honestamente no se sabe nada ya que dejan de valer las leyes, de la física conocida.

A una determinada distancia de la singularidad se forma una esfera imaginaria llamada horizonte de eventos. El horizonte actúa como una membrana de una sola vía: un objeto que entre al horizonte jamás podrá salir; ni siquiera la luz podrá hacerlo. Todo queda atrapado por el poderoso campo gravitacional y arrastrado definitivamente hacia la singularidad.

Un observador externo jamás podrá detectar la llegada de un objeto al horizonte: por un efecto relativista, el tiempo parecerá detenerse cuando el objeto está muy cerca del horizonte.

Los agujeros negros se pueden detectar, en principio, sólo por los efectos gravitacionales que ejercen en su entorno. La materia arrastrada hacia ellos se comprime tanto que emite rayos X. Actualmente hay centenares de candidatos a agujeros negros y se piensa que en el interior de cada galaxia hay un agujero supermasivo, con masa de millones de veces lamasa de nuestro sol.

Los esfuerzos de teóricos y observadores continúan para establecer definitivamente la existencia y naturaleza estos extraños objetos que desafían nuestra imaginación.

A Ciencia Cierta

Héctor Rago, José Domingo Mujica, Ileana Iribarren.
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Nuestra propuesta tiene por objetivo despertar la curiosidad y el interés por temas científicos de alto nivel y de sus aplicaciones tecnológicas. Nos preocupamos por realizar presentaciones amenas usando referencias históricas, literarias y anecdóticas.
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