31/10/07

¿Contar o no Contar?


El diámetro del aleph sería de dos o tres centímetros, pero cada espacio cósmico estaba allí, sin disminución de tamaño. Cada cosa era infinitas cosas, pero yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. El Aleph. J.L.Borges (1949).

Para contar no se necesitan los números. Los números sólo existen desde hace 5.000 años. El Hombre primitivo contaba. La relación se hacía con una referencia. Comparando cantidades con piedras, palitos o dedos. La noción de cantidad es relativa a otra cantidad.

Pasaron muchos años antes de que la humanidad diera el gigantesco salto de crear la noción abstracta del número. Fue el primer paso en el hermoso laberinto que llamamos matemáticas. Los números naturales, el uno, dos, tres… son la referencia universal para contar. Contamos asociando a cada elemento un número natural. El matemático Leopoldo Kronecker afirmó “Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre”.

La pregunta es si todos los conjuntos se pueden enumerar. Los números naturales sirven para contar cualquier conjunto “numerable”, por muy grande que éste sea. No hay un último número natural. Los números naturales son infinitos.

Pero no todos los infinitos son iguales. Imaginemos que colocamos a los números naturales sobre una recta, separados por la misma distancia. Luego marcamos las fracciones de la distancia unitaria, aparecen los números racionales, todos aquellos que se construyen como cociente de dos números naturales. Los griegos notaron que de esta manera no se obtienen todos los puntos de la recta. Hay otros números, que llamamos irracionales, que no tienen esta forma, y lo curioso es que son más abundantes.

Los números reales se representan por los puntos de una recta continua e infinita. Pero los números reales no se pueden enumerar, cualquier intento de hacerlo nos lleva a la conclusión de que hemos dejado alguno afuera.

Los matemáticos llaman aleph cero al infinito de los naturales, es digamos, el infinito más pequeño. El infinito de lo los números reales se llama aleph uno, o cardinal del continuo. Estos son los primeros números transfinitos y a partir de ellos se pueden construir otros mayores, infinitamente mayores.

No todos los conjuntos se pueden contar. Si el hombre pasó muchos miles de años para inventar los números como símbolos universales y contar sin dedos, dio un paso enorme para inventar estos monstruos, los transfinitos, que atormentaron a Jorge Luís Borges en un sótano de Buenos Aires.

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