23/11/07

Un Paseo Al Azar

Imaginemos que estamos parados en un plano cuadriculado infinito, una suerte de tablero de ajedrez ilimitado. Escojamos uno de los vértices como origen y comenzamos nuestra caminata al azar: lanzamos una moneda y damos un paso hacia el vértice opuesto sobre la diagonal derecha, si el resultado de la moneda es cara, pero si el resultado de la moneda es sello, el paso se hace hacia el vértice opuesto sobre la diagonal izquierda. A cada paso lanzamos de nuevo la moneda y así nos vamos desplazando en una caminata aleatoria o paseo al azar.
Este juego aparentemente infantil es la base para la solución de complejos problemas en ciencias naturales y que los matemáticos han estudiado exhaustivamente.
Con un tratamiento de Teoría de la Probabilidades elemental podemos predecir hacia donde va el caminante. Nos respondemos a preguntas como: ¿Es posible que el caminante pase por algún punto preciso en 50 pasos? ¿Hasta donde puede llegar? ¿Pasará más tiempo por debajo o por arriba de un nivel dado? Y muchas más.
Pero no todo es juego. El lanzamiento de una moneda es una manera de describir un fenómeno aleatorio que tiene sólo dos posibles resultados. En la Naturaleza hay muchos fenómenos que ocurren o no ocurren con una cierta probabilidad. Por ejemplo, pasa electricidad o no pasa, dos partículas chocan o no chocan, etc. El inocente juego del paseo al azar permite describir una gran cantidad de fenómenos y con las matemáticas podemos predecir, en un sentido probabilístico, su comportamiento.
En el año 1822 el biólogo Robert Brown, tratando de explicar la trayectoria recorrida por un grano de polen en una superficie de agua, describió lo que hoy se conoce como Movimiento Browniano. En 1905 Albert Einstein explicó el fenómeno y más tarde, el matemático Norbert Wiener formalizó la teoría que hoy hace del movimiento Browniano una de las herramientas fundamentales de la modelización en física, economía, finanzas, biología, meteorología, etc.
¿Qué tiene que ver el paseo al azar con el movimiento Browniano?
Si en lugar de un caminante tenemos una partícula que se desplaza en un tablero cuyos cuadros son infinitamente pequeños y de esta manera cada paso es infinitesimal, es decir, tan pequeño como se quiera, entonces el paseo al azar describe la trayectoria de un movimiento Browniano.
Así es la ciencia, lo que puede parecer un juego, puede llevarnos a comprender un poco más el complejo mundo en que vivimos.

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